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Artikel

Resonanzsäulenmethode

Anonim

Einführung

Hintergrund

Die Resonanzkolonnenmethode wurde ursprünglich von japanischen Ingenieuren entwickelt: Ishimoto & Iida (1937). Es wurde in den 1960er Jahren von Autoren wie Hall & Richart (1963), Drnevich et al. (1967) und Hardin & Black (1968). Die Resonanzsäulenvorrichtung wurde verwendet, um die dynamische Antwort von Böden einschließlich des Scher- und Elastizitätsmoduls basierend auf der Theorie der Wellenausbreitung in prismatischen Stangen zu messen.

Schubmodul (G)

Das Resonanzsäulenverfahren wurde herkömmlicherweise bei der Torsion verwendet, um den Schubmodul (G) des Materials zu messen. In den meisten Fällen wurde die spannungsfreie Konfiguration zu Forschungszwecken gewählt, da ihre mathematische Herleitung einfacher ist. Im spannungsfreien Test wird eine zylindrische Probe an der Basis fixiert und über einen an ihrem freien Ende angebrachten Antriebsmechanismus angeregt. Die Resonanzfrequenz (omega) wird gemessen, von der die Geschwindigkeit der sich ausbreitenden Welle abgeleitet wird. Basierend auf der abgeleiteten Geschwindigkeit und der Probendichte kann der Schubmodul (G) mit niedriger Dehnung des Materials aus der Basisgleichung für die Torsionsschwingung berechnet werden.

E-Modul (E)

Die Resonanzsäule kann auch bei der Biegungserregung verwendet werden, um den Young-Modul (E) des Materials zu bestimmen. Bei der herkömmlichen Methode mit langen Proben, die die Anwendung der Rayleighod-Energiemethode und der Euler-Bernoulli-Strahlentheorie ermöglicht, wurden die Schubspannungsenergie und der Rotationsträgheitseffekt nicht berücksichtigt. Wenn die getestete Probe im Vergleich zu ihrem Durchmesser kurz ist, können die Auswirkungen der Rotation und der Scherverformung der Proben während der Biegung erheblich sein. Diese Effekte können bei der Interpretation von Daten aus dem Biegetest, insbesondere bei hohen Frequenzen, erheblich sein. Daher hat sich die Euler-Bernoulli-Theorie der Biegeschwingung eines elastischen Trägers für kurze Proben als auch für die Vorhersage höherer Schwingungsmodi als unzureichend herausgestellt.

Genauer gesagt wird die Timoshenko-Balkentheorie als Modell für diese Interpretation verwendet. Die Theorie wurde vom ukrainischen Wissenschaftler Stephen Timoshenko im 20. Jahrhundert entwickelt und berücksichtigt Scherverformung und Rotationsträgheit. Verschiedene Frequenzgleichungen für den festgeklemmten Timoshenko-Balken mit einer Endmasse in der Biegeschwingung werden gelöst, um den Wert der elastischen Steifheit (E) zu berechnen.

Die Resonanzsäulenmethode

Resonanzsäule für Torsionsanregung

Bei der in Allen und Stokoe (1982) erwähnten Standard-Torsionsresonanzsäule (Stokoe-Zelle SBEL D1128) ist die Probe starr an der Basis befestigt, während die Torsionsschwingung durch einen Antriebskopf auf das freie Ende aufgebracht wird. Die Grundgleichungen für die eingespannte Resonanzsäule, die der Torsion unterworfen ist, sind:

Die Ableitung dieser Gleichungen basiert auf der Annahme, dass die Drehung klein ist und jeder Querschnitt eben bleibt und um seinen Mittelpunkt rotiert. Alle in Gleichung (2.1) ausgedrückten Ausdrücke sind Funktionen der geometrischen Eigenschaften der Probe außer Omega n. Wenn das System als ein System mit einem einzigen Freiheitsgrad behandelt wird, ist die in der Resonanzsäulenvorrichtung gemessene Resonanzfrequenz die gedämpfte Eigenfrequenz (omega d), liegt jedoch ausreichend nahe an der Eigenfrequenz (omega n). In diesem Fall kann der Fehler toleriert werden, da omega d innerhalb von 1% von omega n liegt. Durch Lösen der Gleichungen (2.1) und (2.2) mit Omega n kann die Scherwellengeschwindigkeit (Vs) ermittelt werden, aus der der Schermodul des Materials (G) durch Umordnung der Gleichung (2.3) abgeleitet werden kann.

Resonanzsäule zur Biegungserregung

Bestimmung des Young-Moduls durch die Euler-Bernoulli-Strahlentheorie (kurze Beispiele)

Mit dem RCA kann auch der Young-Modul (E) des Materials gemessen werden. Cascante et al. (1998) modifizierten die standardmäßige Stokoe-Torsionsresonanzsäule (Stokoe-Zelle SBEL D1128) um ​​den Biegeschwingungsmodus.

In der ursprünglichen Konfiguration wurden vier Paare von Erregerspulen in Reihe geschaltet, um ein Nettodrehmoment an der Oberseite der Probe zu erzeugen. In der modifizierten Version von Cascante werden die Spulen wieder verbunden, so dass nur zwei Magnete verwendet werden, um eine horizontale Netto-Kraft auf der Probe zu erzeugen.

Bei der Reduzierung der Daten für die Biegungserregung können der Prüfling und sein Antriebskopf als elastische Säule mit starrer Spitzenmasse am oberen freien Ende idealisiert werden (Abb. 3). Das Verhalten des Systems wird als elastisch angenommen. Cascante et al. (1998) haben unter Verwendung der Rayleigh'schen Energiemethode und der Euler-Bernoulli-Strahlentheorie eine allgemeine mathematische Formulierung für die Winkelresonanzfrequenz entwickelt. Basierend auf dieser allgemeinen Gleichung kann der Young-Modul (E) bestimmt werden durch:

Da in der früheren Literatur die Querschnittsabmessungen der Probe im Vergleich zu ihrer Länge klein waren, wurde die Euler-Bernoulli-Strahlentheorie verwendet, um die Randbedingungen zu behandeln und die Frequenzgleichung abzuleiten, aus der E bestimmt werden konnte.

Finden des Young-Moduls durch Timoshenko-Strahlentheorie (lange Proben)

Wenn die getesteten Probekörper im Vergleich zu ihren Dicken kurz sind, ist der Effekt der Scherdeformation während der Biegung signifikant, was zu möglichen Diskrepanzen bei der Interpretation der Daten aus dem Biegeversuch führen kann. Andererseits ist der Effekt der Drehung groß, wenn die Krümmung des Balkens relativ zu seiner Dicke groß ist. Dies trifft zu, wenn der Balken im Vergleich zu seiner Dicke kurz ist. Daher wird die Timoshenko-Balkentheorie in dieser Interpretation verwendet, da sie den Effekt der Scherdeformation und der Rotationsträgheit berücksichtigt, bei dem die herkömmliche Euler-Bernoulli-Theorie dies nicht tut. Während der Vibration führt ein typisches Element eines Balkens nicht nur eine translatorische Bewegung aus, sondern auch eine Rotation. In Anbetracht der Scherdeformation ist die Annahme der elementaren Euler-Bernoulli-Theorie, dass "ebener Abschnitt eben bleibt", nicht mehr anwendbar. Daher kann der Drehwinkel, der gleich der Neigung Theta eines Abschnitts entlang der Länge des Balkens ist, nicht durch einfache Differenzierung der Querverschiebung y erhalten werden. Somit ergeben sich zwei unabhängige Bewegungen Theta (x, t) und y (x, t).

Timoshenko gab die gekoppelten Bewegungsgleichungen für den Strahl mit konstantem Querschnitt an als:

Bruch und Mitchell (1987) untersuchten einen besonderen Fall eines freitragenden Timoshenko-Balkens mit einer Spitzenmasse. Durch die Anwendung der Randbedingungen und die Verwendung der nichtdimensionalen Variablen von Huang werden die Lösungen der gekoppelten Gleichungen als Funktionen des Young-Moduls (E), des Schubmoduls (G), der Materialdichte (Rho), die Eigenfrequenz des Winkels (omega n) und die Geometrie der Probe. Bruch und Mitchell haben die Frequenzgleichung des Strahls bei der Biegungserregung durch Einfügen der Lösungen der gekoppelten Gleichungen (2.6) und (2.7) in die Randbedingungen abgeleitet, aus denen die Matrixgleichung bestimmt werden kann. Durch die Bestimmung der Determinante der Koeffizientenmatrixgleichung wurde die Resonanzfrequenzgleichung gefunden, aus der der Young-Modul (E) berechnet werden kann.

Liu (1989) schlug drei Möglichkeiten vor, um die Arbeit von Bruch und Mitchell weiter auszudehnen:

(i) Die Basisbedingung für das Trägermassensystem, die in [3] betrachtet wird, sollte als unvollständige geklemmte Unterstützung (oder elastische Unterstützung) modelliert werden.

(ii) Der Schwerpunkt der Spitzenmasse befindet sich nicht praktisch direkt an der Spitze des Trägers, sondern gewöhnlich in einem Abstand von der Trägerspitze.

(iii) der Scherkoeffizient hängt sowohl von der Querschnittsform als auch vom Poisson-Verhältnis ab. Liu fügte Federn an der Nabe hinzu, um den unvollkommenen geklemmten Träger zu simulieren. Daher umfasst die Randbedingung auch die Federeigenschaften, die Rotationsfederkonstante und Translationsfederkonstante sind. Indem Liu die allgemeine Lösung in die neuen Randbedingungen einsetzte, verbesserte Liu die Frequenzgleichung von Bruch und Mitchell für den massenbeladenen geklemmten Timoshenko-Strahl.

Der Scherkoeffizient in Timoshenkos Strahltheorie ist eine dimensionslose Größe, die von der Form des Querschnitts abhängt, was der Tatsache Rechnung trägt, dass Scherspannung und Scherdehnung nicht gleichmäßig über den Querschnitt der Probe verteilt sind. Cowper (1966) entwickelte eine neue Formel für den Scherkoeffizienten aus der Ableitung der Gleichungen der Timoshenko-Strahlentheorie. Für einen kreisförmigen Querschnitt wurde der Wert von K als Poisson-Verhältnis angegeben als:

Farghaly (1993) schlug vor, die Arbeit von Liu durch die Anwendung der Timoshenko-Balkentheorie bei der Behandlung der Randbedingungen zu erweitern. Er erkannte, dass die Verwendung der Euler-Bernoulli-Theorie unter den Randbedingungen zu ungenauen Eigenfrequenzen führen könnte, insbesondere bei hohen Schlankheitsverhältnissen und höheren Schwingungsmodi. Das Modell von Farghaly beinhaltet auch die Flexibilität der Wurzel und die Exzentrizität der Spitzenmasse.

Die Arbeiten von Bruch und Mitchell (1987), Liu (1989) und Farghaly (1993) versuchten, die Bewegung eines flexiblen Roboterarms zu simulieren, der als freitragender Timoshenko-Balken mit einer geballten Masse und einem geballten Trägheitsmoment am freien Ende modelliert war Ende. Für den Zweck dieses Aufsatzes wurden ihre Resonanzfrequenzgleichungen jedoch als ausreichend für die Verwendung bei der Berechnung des Young-Moduls des Materials aus dem Biege-Resonanzsäulentest angesehen, sofern die Eigenfrequenz des Winkels bekannt ist.

Timoshenkos Strahlentheorie für das Testen von Resonanzsäulen

Frequenzgleichung von Bruch und Mitchell

Bruch und Mitchell begannen mit den ursprünglich gekoppelten Bewegungsgleichungen von Timoshenko für den Balken mit konstantem Querschnitt:

Aus den einfachen harmonischen Bewegungsgleichungen:

Unter Verwendung der nicht-dimensionalen Variablen und der Gleichungsreihen (3.1) bis (3.3) reduzierten die Gleichungen (3.4) das Problem auf:

Die Determinante der Koeffizientenmatrixgleichung (3.20) ergibt die Frequenzgleichung, aus der die elastische Steifigkeit mit der Eigenresonanzfrequenz (ωn) als Eingang berechnet werden kann.

Frequenzgleichung von Liu

Liu [16] führte eine Rotationsfederkonstante (Kr) und eine Translationsfederkonstante (Kl) ein, um die Unvollkommenheit eines eingespannten Trägers zu modellieren. Wenn die Basis der Resonanzsäule perfekt geklemmt ist, nähern sich die Werte der Federkonstanten (Kr) und (Kl) der Unendlichkeit an. Der Abstand von der Strahlspitze zum Zentrum der hinzugefügten Masse (d) wurde addiert, um die Exzentrizität zu modellieren. Das Trägheitsmoment der hinzugefügten Masse (J) wurde ebenfalls in die überarbeitete Matrixgleichung aufgenommen, um die Genauigkeit des ursprünglichen Modells von Bruch und Mitchel zu verbessern. Liu ging von der einzigen freien Schwingungsgleichung eines Timoshenko-Strahls aus [16] aus und nicht von der gekoppelten Bewegungsgleichung wie bei Bruch und Mitchell. Die von Liu gegebene Frequenzgleichung lautet:

In welchem

Gleichung (3.39) wurde unter Verwendung von Matlab mit den gleichen Eingaben wie bei Bruch und Mitchells Modell plus Exzentrizität und Trägheitsmoment der Spitzenmasse gelöst, um die elastische Steifigkeit der Probe zu bestimmen.

Frequenzgleichung von Farghaly

Liu hat eine Frequenzgleichung abgeleitet, um die Arbeit von Bruch und Mitchell weiter zu verbessern. Die Flexibilität der Wurzel, die Exzentrizität und das Trägheitsmoment der Spitzenmasse wurden berücksichtigt, um die Genauigkeit beim Modellieren eines Roboterarms als festgeklemmten Timoshenko-Träger mit einer geballten Masse und einem geballten Trägheitsmoment an seinem freien Ende zu verbessern. Die gleiche Idee der Simulation eines Roboterarms durch die Timoshenko-Strahlentheorie kann verwendet werden, um die Resonanzsäulenvorrichtung zu modellieren, wenn die Probe relativ zu ihrem Durchmesser kurz ist. Farghaly kommentierte in seinem veröffentlichten Artikel, dass Liu in [16] die Timoshenko-Balkentheorie für die Systemdifferentialgleichung verwendete, während die Euler-Bernoulli-Theorie zur Behandlung der Randbedingungen angewendet wurde. Farghaly betonte, dass bei der Verwendung der Formel von Liu zur Berechnung der Resonanzfrequenz mit geeigneten Eingaben ungenaue Eigenfrequenzen erzielt werden könnten, insbesondere für signifikante Werte des Schlankheitsverhältnisses und für höhere Schwingungsmoden.

Die Systemfrequenzgleichung in Bezug auf die Grundsteifigkeitsparameter kann wie folgt geschrieben werden:

In welchem

Um den perfekt geklemmten Stützzustand der Resonanzsäule zu modellieren, sollten theoretisch die Federkonstanten Theta und K auf unendlich gebracht werden. In Matlab wurden jedoch der Einfachheit halber Extremwerte für Theta und K zugewiesen, um signifikante Werte der Wurzelsteifigkeitsparameter Theta und Z zu erhalten. Wie in Farghaly (1992) erwähnt, wird bei der Verwendung der Matrixdeterminantengleichung (3.40) zur Berechnung der Resonanzfrequenzen können ungenaue Ergebnisse für große Werte des Schlankheitsverhältnisses erhalten werden. Laut Liu in Author's Reply (1992) könnten aus seiner eigenen praktischen Sicht die Idee, eine komplizierte Auslegerstruktur als Timoschenko-Balken zu behandeln, die Diskrepanzen aufgrund nicht exakter Randbedingungen annehmen als erträglich angesehen.

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